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Korrigierte Fehler in Rechnerarithmetik
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‎09_Rechnerarithmetik.md‎

Lines changed: 21 additions & 18 deletions
Original file line numberDiff line numberDiff line change
@@ -147,7 +147,7 @@ Jede natürliche Zahl $z$ mit $0 \leq z \leq b^n–1$ ist eindeutig als $n$-stel
147147

148148
$$
149149
\begin{aligned}
150-
z &= (z_{n-1} z_{n-2} z_{n-3} ... z_{2} z_{1} z_{0})_{2} \\
150+
z &= (z_{n-1} z_{n-2} z_{n-3} ... z_{2} z_{1} z_{0})_{b} \\
151151
z &= z_{n-1} \cdot b^{n-1} + z_{n-2} \cdot b^{n-2} + .... + z_{1} \cdot b^{1} + z_{0} \cdot b^{0}\\
152152
\end{aligned}
153153
$$
@@ -165,7 +165,7 @@ Beispiel $FE01_{16}=15 \cdot 16^3 + 14 \cdot 16^2 + 0 \cdot 16^1 + 1 \cdot 16^0
165165

166166
> **Aufgabe:** Informieren Sie sich über das _Sexagesimalsystem_ der babylonischen Mathematik! Warum verwendete man die 60 als Grundlage?
167167
168-
> **Merke:** Mit der Darstellung einer Zahl im binären Zahlensystem sinkt die Zahl der Ziffernsymbole gleichzeitig steigt die Zahl der notwendigen Stellen an! Wir brauchen mehr Platz.
168+
> **Merke:** Mit der Darstellung einer Zahl im binären Zahlensystem sinkt die Zahl der Ziffernsymbole. Gleichzeitig steigt die Zahl der notwendigen Stellen an! Wir brauchen mehr Platz.
169169
170170
Beispiel: $214_{10}$
171171

@@ -243,14 +243,16 @@ style="width: 80%; min-width: 420px; max-width: 720px;"
243243
16 / 2 = 8 Rest 0 | .
244244
8 / 2 = 4 Rest 0 |
245245
4 / 2 = 2 Rest 0 |
246-
2 / 2 = 1 Rest 1 v
246+
2 / 2 = 1 Rest 0 |
247+
1 / 2 = 0 Rest 1 v
247248
```
249+
$523_{10}$=$1000001011_{2}$
248250

249251
********************************************************************************
250252

251253
### Gebrochene Zahlen
252254

253-
Die Römer nutzten Brüche mit der Basis 12(!). Die Nutzung der 12 lag nahe, weil sich die am häufigsten benötigten Brüche _eine Hälfte_, _ein Drittel_ und _ein Viertel_ durch Vielfache von $1/12$ darstellen lassen. Der römische Name für ein Zwölftel ist Uncia, ein Wort, das später zum Gewichtsmaß _Unze_ wurde. Für Brüche, deren Zähler um 1 kleiner als der Nenner ist, wurde teilweise eine subtraktive Bezeichnung verwendet.
255+
Die Römer nutzten Brüche mit der Basis 12(!). Die Nutzung der 12 lag nahe, weil sich die am häufigsten benötigten Brüche *eine Hälfte*, _ein Drittel_ und _ein Viertel_ durch Vielfache von $1/12$ darstellen lassen. Der römische Name für ein Zwölftel ist Uncia, ein Wort, das später zum Gewichtsmaß _Unze_ wurde. Für Brüche, deren Zähler um 1 kleiner als der Nenner ist, wurde teilweise eine subtraktive Bezeichnung verwendet.
254256

255257
Die Darstellung einer gebrochenen Zahl ist in einem $b$-adischen System mit $n$ Vorkomma und $m$ Nachkommastellen definiert mit:
256258

@@ -265,7 +267,7 @@ $$
265267
| ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | ----- | -------- | -------- | -------- | -------- |
266268
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | 0.0625 |
267269

268-
Beispiel: $1011,1101 = 4 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.625 = 11.8125$
270+
Beispiel: $1011,1101 = 8 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.625 = 11.8125$
269271

270272
```
271273
i=0
@@ -291,11 +293,12 @@ Der Faktor definiert das avisierte Zahlensystem
291293
0.28125 ∙ 2 = 0.5625 "<" 1 -> 0 Rest 0.5625
292294
0.5625 ∙ 2 = 1.125 ">" 1 -> 1 Rest 0.125
293295
0.125 ∙ 2 = 0.25 "<" 1 -> 0 Rest 0.25
296+
0.25 ∙ 2 = 0.5 "<" 1 -> 0 Rest 0.5
294297
0.5 ∙ 2 = 1 "<="1 -> 1 Rest 0 .
295298
296299
```
297300

298-
Ergebnis $0.28125_{10} = 0.25 + 0.625 = 0.0101$
301+
Ergebnis $0.28125_{10} = 0.25 + 0.03125 = 0.01001$
299302

300303
> Beispiel 2: Wandeln Sie $0.1_{10}$ in eine duale Zahl
301304
@@ -378,7 +381,7 @@ Die Addition zweier positiver n-stelliger Binärzahlen $a$ und $b$ kann stellenw
378381
| ---------- | ---------- | ---------- | ---------- | ---------- | ---------- | ---------- | ---------- | ------------- | --------------------- |
379382
| + | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | Summand B $(86)_{10}$ |
380383
| @red($0$) | @blue($0$) | @blue($0$) | @blue($1$) | @blue($0$) | @blue($1$) | @blue($1$) | @blue($0$) | @blue( $0$ ) | @blue($Carry$) |
381-
| | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | Ergebnis $(109)^{10}$ |
384+
| | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | Ergebnis $(109)_{10}$ |
382385

383386
Kein Überlauf!
384387

@@ -405,7 +408,7 @@ style="width: 80%; min-width: 420px; max-width: 720px;"
405408
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | ---------------------- |
406409
| + | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | Summand B $(214)_{10}$ |
407410
| @red($1$) | @blue($1$) | @blue($1$) | @blue($1$) | @blue($0$) |@blue($1$) | @blue($1$) | @blue($0$) |@blue( $0$ ) | @blue($Carry$) |
408-
| | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | Ergebnis $(269)^{10}$ |
411+
| | $0$ | $0$ | $0$ | $0$ | $1$ | $1$ | $0$ | $1$ | Ergebnis $(269)_{10}$ |
409412

410413
Der Intel 4004 hatte eine Datenbreite von 4 Bit. Er verknüpfte für die Akkumulation von 2 32 Bit Zahlen 4 Einzelkalkulationen und reichte das Carry-Flag entsprechend weiter.
411414

@@ -421,8 +424,8 @@ Der Intel 4004 hatte eine Datenbreite von 4 Bit. Er verknüpfte für die Akkumul
421424
422425
| Kriterien | Erläuterung |
423426
| ----------------------------------- | ------------------------------------------------------------------------------- |
424-
| Einheitlichkeit von Addition Subtraktion | Können wir die Subtraktion und Addition über ein Rechenwerk umsetzen? |
425-
| Symmetrie | Ist das Spektrum der darstellbaren Zahlenwerte im positiv wie negativen gleich? |
427+
| Einheitlichkeit von Addition & Subtraktion | Können wir die Subtraktion und Addition über ein Rechenwerk umsetzen? |
428+
| Symmetrie | Ist das Spektrum der darstellbaren Zahlenwerte im Positiven wie Negativen gleich? |
426429
| | |
427430

428431
********************************************************************************
@@ -526,7 +529,7 @@ Die Zweierkomplementdarstellung benötigt, anders als die Einerkomplementdarstel
526529
| Darstellung | Pros | Cons |
527530
| ----------- | ------------------------------------------------- | ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- |
528531
| | + eindeutige Darstellung der Null als $000...0_2$ | - darstellbarer Zahlenbereich ist asymmetrisch (Zweierkomplement der kleinsten negativen Zahl ist nicht darstellbar!) |
529-
| | | + Umwandlung von positiver zu negativer Zahl und umgekehrt erfordert die Invertierung aller Bits sowie ein Addierwerk zur Addition von 1 |
532+
| | | - Umwandlung von positiver zu negativer Zahl und umgekehrt erfordert die Invertierung aller Bits sowie ein Addierwerk zur Addition von 1 |
530533

531534
********************************************************************************
532535

@@ -542,7 +545,7 @@ Die Zweierkomplementdarstellung benötigt, anders als die Einerkomplementdarstel
542545
| Einerkomplement | + der darstellbare Zahlenbereich ist symmetrisch zu 0 | - Doppelte „0“ - $0000...0_2$ und $1111...1_2$ |
543546
| | + sehr einfache Umwandlung von positiver zu negativer Zahl und umgekehrt durch Invertierung aller Bits | - Addierwerke sind aufwendiger, da die Summe korrigiert werden muss |
544547
| Zweierkomplement | + eindeutige Darstellung der Null als $000...0_2$ | - darstellbarer Zahlenbereich ist asymmetrisch (Zweierkomplement der kleinsten negativen Zahl ist nicht darstellbar!) |
545-
| | | + Umwandlung von positiver zu negativer Zahl und umgekehrt erfordert die Invertierung aller Bits sowie ein Addierwerk zur Addition von 1 |
548+
| | | - Umwandlung von positiver zu negativer Zahl und umgekehrt erfordert die Invertierung aller Bits sowie ein Addierwerk zur Addition von 1 |
546549

547550

548551
> **Merke:** In aktuellen Rechnern wird ausschließlich das Zweierkomplement verwandt.
@@ -572,10 +575,10 @@ Die Zweierkomplementdarstellung benötigt, anders als die Einerkomplementdarstel
572575
01001 = 9 10101 = -11
573576
```
574577

575-
Bei beliebig großen Registern zur Aufnahme der Komplementdarstellung einer binären Zahl können Addition und Subtraktion ohne Einschränkungen ausgeführt werden. ABER: Mit der Beschränkung kann de
578+
Bei beliebig großen Registern zur Aufnahme der Komplementdarstellung einer binären Zahl können Addition und Subtraktion ohne Einschränkungen ausgeführt werden. ABER: Mit der Beschränkung kann die
576579

577-
+ Addition zweier positiver Zahlen kann eine negative Zahl ergeben !
578-
+ Addition zweier negativer Zahlen kann eine positive Zahle ergeben !
580+
+ Addition zweier positiver Zahlen eine negative Zahl ergeben !
581+
+ Addition zweier negativer Zahlen eine positive Zahle ergeben !
579582

580583
Entsprechend müssen Überschreitungen des Zahlenbereiches erkannt und behandelt werden. Die Bedingungen dafür sind: Gegeben die Operanden $a$ und $b$ und das Ergebnis $s$
581584

@@ -653,7 +656,7 @@ Die Wahrheitstafel lässt sich mit folgendem Schaltnetz umsetzen:
653656
{{2-3}}
654657
********************************************************************************
655658

656-
**Volladierer**
659+
**Volladdierer**
657660

658661
Die allgemeingültige Addition von $A_i$, $B_i$ und $C_{i–1}$ an den Bitpositionen $i = 1, ... , n–1$ erfordert einen Volladdierer (FA = „Full Adder“), der die Summe $S_i$ und den Übertrag $C_i$ bestimmt:
659662

@@ -682,7 +685,7 @@ Gleichungen
682685
<td>
683686
$$
684687
\begin{aligned}
685-
S_i &= A_i \oplus B_i \oplus C_i\\
688+
S_i &= A_i \oplus B_i \oplus C_{i-1}\\
686689
C_i &= \overline{A_i}B_i C_{i-1} + A_i\overline{B_i}C_{i-1} + A_iB_i\overline{C}_{i-1} + A_iB_iC_{i-1} \\
687690
C_i &= (\overline{A_i}B_i + A_i\overline{B_i} )C_{i-1} + A_iB_i \\
688691
&= (A_i \oplus B_i)C_{i-1} + A_iB_i \\
@@ -693,7 +696,7 @@ $$
693696
</tr>
694697
</table>
695698

696-
> **Aufgabe:** Die obige Gleichungen sind identisch und unterscheiden sich nur durch $/oplus$ und $+$. Erklären Sie den vermeintlichen Widerspruch.
699+
> **Aufgabe:** Die obigen Gleichungen sind identisch und unterscheiden sich nur durch $\oplus$ und $+$. Erklären Sie den vermeintlichen Widerspruch.
697700
698701
![](./images/09_Arithmetik/Full_Adder.svg.png)<!-- style="width: 45%; max-width: 600px;" -->
699702
![](./images/09_Arithmetik/Full_Adder_Symbol_2HA.png)<!-- style="width: 15%; max-width: 800px;" -->

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