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Die Römer nutzten Brüche mit der Basis 12(!). Die Nutzung der 12 lag nahe, weil sich die am häufigsten benötigten Brüche _eine Hälfte_, _ein Drittel_ und _ein Viertel_ durch Vielfache von $1/12$ darstellen lassen. Der römische Name für ein Zwölftel ist Uncia, ein Wort, das später zum Gewichtsmaß _Unze_ wurde. Für Brüche, deren Zähler um 1 kleiner als der Nenner ist, wurde teilweise eine subtraktive Bezeichnung verwendet.
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Die Darstellung einer gebrochenen Zahl ist in einem $b$-adischen System mit $n$ Vorkomma und $m$ Nachkommestellen definiert mit:
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Die Darstellung einer gebrochenen Zahl ist in einem $b$-adischen System mit $n$ Vorkomma und $m$ Nachkommastellen definiert mit:
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$$
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\begin{aligned}
@@ -246,8 +283,10 @@ Der Faktor definiert das avisierte Zahlensystem
246
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Ergebnis $0.8125_{10} = 0.1011$
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Beispiel 2: Wandeln Sie $0.1_{10}$ in eine duale Zahl
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+
> Beispiel 2: Wandeln Sie $0.1_{10}$ in eine duale Zahl
Der Intel 4004 hatte eine Datenbreite von 4 Bit. Er verknüpfte für die Akkumulation von 2 32 Bit Zahlen 4 einzelkalkulationen und reichte das CarryFlag entsprechend weiter.
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+
Der Intel 4004 hatte eine Datenbreite von 4 Bit. Er verknüpfte für die Akkumulation von 2 32 Bit Zahlen 4 Einzelkalkulationen und reichte das Carry-Flag entsprechend weiter.
|| + der darstellbare Zahlenbereich ist symmetrisch zu 0 | - Doppelte „0“ - $0000...0_2$ und $1111...1_2$ |
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|| + sehr einfache Umwandlung von positiver zu negativer Zahl und umgekehrt durch Invertierung aller Bits | - Addierwerke sind aufwendiger, da die Summe korrigiert werden muss |
@@ -459,13 +514,27 @@ Die Zweierkomplementdarstellung benötigt, anders als die Einerkomplementdarstel
459
514
|| + eindeutige Darstellung der Null als $000...0_2$ | - darstellbarer Zahlenbereich ist asymmetrisch (Zweierkomplement der kleinsten negativen Zahl ist nicht darstellbar!) |
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||| + Umwandlung von positiver zu negativer Zahl und umgekehrt erfordert die Invertierung aller Bits sowie ein Addierwerk zur Addition von 1 |
| Vorzeichen / Betrag | + Einfache Bildung des Komplements | - Doppelte „0“ - $0000...0_2$ und $1000...1_2$ |
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+
||| - Addition / Subtraktion über unterschiedliche Rechenwerke |
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| Einerkomplement | + der darstellbare Zahlenbereich ist symmetrisch zu 0 | - Doppelte „0“ - $0000...0_2$ und $1111...1_2$ |
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|| + sehr einfache Umwandlung von positiver zu negativer Zahl und umgekehrt durch Invertierung aller Bits | - Addierwerke sind aufwendiger, da die Summe korrigiert werden muss |
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+
| Zweierkomplement | + eindeutige Darstellung der Null als $000...0_2$ | - darstellbarer Zahlenbereich ist asymmetrisch (Zweierkomplement der kleinsten negativen Zahl ist nicht darstellbar!) |
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||| + Umwandlung von positiver zu negativer Zahl und umgekehrt erfordert die Invertierung aller Bits sowie ein Addierwerk zur Addition von 1 |
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> **Merke:** In aktuellen Rechnern wird ausschließlich das Zweierkomplement verwandt.
Um das Ergebnis komplett darzustellen müsen wir für die Addition (Subtraktion als Komplementoperation) neben dem Ergebnis $S$ auch die Carry Flags $C$ berücksichtigen.
{"devices":{"a":{"label":"a","type":"Button","propagation":0,"position":{"x":15,"y":0}},"b":{"label":"b","type":"Button","propagation":0,"position":{"x":15,"y":50}},"s":{"label":"s","type":"Lamp","propagation":1,"position":{"x":315,"y":45}},"cout":{"label":"cout","type":"Lamp","propagation":1,"position":{"x":315,"y":0}},"xor":{"label":"a xor b","type":"Xor","propagation":1,"bits":1,"position":{"x":160,"y":50}},"and":{"label":"a and b","type":"And","propagation":1,"bits":1,"position":{"x":155,"y":-5}}},"connectors":[{"from":{"id":"a","port":"out"},"to":{"id":"and","port":"in1"}},{"from":{"id":"b","port":"out"},"to":{"id":"and","port":"in2"}},{"from":{"id":"and","port":"out"},"to":{"id":"cout","port":"in"}},{"from":{"id":"a","port":"out"},"to":{"id":"xor","port":"in1"}},{"from":{"id":"b","port":"out"},"to":{"id":"xor","port":"in2"}},{"from":{"id":"xor","port":"out"},"to":{"id":"s","port":"in"}}],"subcircuits":{}}
Die allgemeingültige Addition von $A_i$, $B_i$ und $C_{i–1}$ an den Bitpositionen $i = 1, ... , n–1$ erfordert einen Volladdierer (FA = „Full Adder“), der die Summe $S_i$ und den Übertrag $C_i$ bestimmt:
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<table>
@@ -567,9 +651,6 @@ Erweiterte Wahrheitstabelle
567
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<td>
568
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Gleichungen
569
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</td>
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-
<td>
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-
Mögliche Realsierung
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</td>
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</tr>
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<tr>
575
656
<td>
@@ -608,6 +689,9 @@ $$
608
689
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Wie können wir also ein paralleles binäres Addierwerk umsetzen? Für die Addition zweier n-Bit Zahlen bedarf es $n$ Volladierer, die miteinander verkettet werden.
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